[김종우의 고전음악]수학적으로 보는 음색

연주되는 음악은 우리의 귀를 통해 두뇌에 전달되고 내면의 심리적인 변화를 겪어 마침내 아름답게 변모하게 된다.

　그런데 같은 음악이라도 피아노로 연주되는 것과 첼로로 연주되는 것 사이에는 차이가 존재한다. 같은 멜로디를 연주하는 것인데도 느낌의 차이가 나는 이유는 무엇일까? 그 이유는 다름이 아니고 음파의 형태가 차이나기 때문이다. 즉, 음색이 차이나기 때문에 악기간의 구별이 되고 사람의 목소리간에도 구별이 되는 것이다. 음파의 주기나 진폭이 같아 음높이와 음세기가 같을지라도 음파의 군데군데 악기 혹은 목소리만의 특징적인 모양이 녹아들어 있다.

　그렇다면 이렇듯 고유한 형태의 음색을 가진 음파를 수학적으로 표현할 수 있을까? 이것은 물론 가능한데, 이는 마치 색의 3원색인 빨강, 파랑, 노랑을 섞어 모든 가능한 색을 만들어 내는 것과 동일한 이치다. 색에서 빨강, 파랑, 노랑이 있다면, 음에서는 싸인(sine)과 같은 삼각함수가 있다. 싸인파를 합성하면 우리가 원하는 악기의 음색을 무엇이든지 만들어 낼 수 있는 것이다.

　본래 이같은 합성법은 프랑스의 수학자 푸리에 (Fourier)가 고안해내었고 1807년 프랑스의 과학학회에 논문을 제출하였는데 당시의 판단으로 수학적 엄밀성이 떨어진다는 이유로 논문게제를 거부당해야했다. 하지만 아이러니하게도 오늘날 공학 분야에서 푸리에의 이론은 기본적인 과목에 속하게 되었다. 다양한 주기와 진폭, 위상을 가진 삼각함수들을 서로 합하게 되면 심지어 불연속적으로 보이는 파형마저도 쉽게 모사할 수 있는 이 이론에 매력이 있는 것이다.

　예를들어, 첼로가 최저음 (C0)음을 연주할때 오실로스코프같은 도구를 사용하면 그 음형을 볼 수 있다. 그리고 이 음형은 푸리에의 이론에 의해 기본음파 (싸인파)와 정수배의 진동수를 가진 음파들로 나뉘게 된다. 여기에서 정수배 진동수를 가진 음파들의 진폭을 얼마로 하느냐가 중요한 문제가 되는데 이는 오일러등이 만든 계수 구하는 방법을 사용하면 된다.

　그리하여 기본음파와 각 정수배 음파들의 진폭을 그래프로 만들어놓으면 주파수 스펙트럼이 된다. 대략 10배음파까지 합하게 되면 첼로음파와 거의 일치하게 되고 20배음파까지 합하면 세세한 부분까지도 재현할 수 있다. 이 주파수 스펙트럼을 통해 악기의 음색간의 차이를 시각적으로 이해할 수 있는데 예를 들어 피아노의 주파수 스펙트럼은 첼로의 것에 비해 2배음파의 진폭이 상당히 강하게 나타난다. 나아가 이러한 기술을 이용해 악기를 개량하거나 새로운 악기를 만들 수도 있을 것이며, 스트라디바리우스같은 고급악기가 일반악기와 어떤 식으로 음색에서 차이를 보이는지도 연구 할 수 있는 것이다.