등차수열 공식 제대로 이해해야 미적분 마스터한다

미국 수학의 정석
존 김 원장 / 쿨김아카데미(압구정)

19세기 최고의 수학자라고 불리는 가우스의 덧셈법이라고 널리 알려진 이야기가 있다.

대략 300년 전에 독일의 초등학교 1학년 학생들이 교실에서 너무 시끄럽게 떠들어서 선생님이 벌칙으로 1+2+3+…+100의 값을 구하는 문제를 주고 정답을 맞춰야 집에 보내준다고 했는데 그 중에 가우스라는 학생이 채 1분도 걸리지 않고 정답을 찾아서 제일 먼저 집으로 갔다는 전설처럼 전해지는 이야기다.

방법은 이렇다. 1+2+3+...+99+100을 순서를 바꿔서 다시 써주면 100+99+…+2+1 이 되는데 이렇게 순서만 바꿔놓은 서로 같은 두 합을 더해주면 (1+100)+(2+99)+...+(99+2)+(100+1)이 되는데 이것은 101이 100개가 나오는 경우이므로 101 곱하기 100을 2로 나누어주면 5050이라는 정답을 쉽게 구할 수 있다는 논리다.

1 2 3… 이런 식으로 숫자들이 나열되어 있는 것을 수열(Sequence)이라고 한다. 그리고 1+2+3+…+99+100 과 같은 숫자들의 합을 급수(Series)라고 부른다.

그럼 1+3+5+…+99의 값은 어떻게 될까? 같은 방법으로 생각해보면 1+3+5+…+99와 99+97+…3+1을 서로 더해볼 수 있다. 그러면 (1+99)+(1+99)+…+(1+99)와 같이 정리가 되는데 100이라는 숫자가 여기서는 몇 개가 나오는 지 생각할 수 있어야 한다. 1부터 100까지의 자연수들이 있다고 했을 때 여기에는 모두 50개의 홀수(odd number)들이 존재한다. 따라서 1+3+5+…+99의 합은 50개의 숫자로 이루어진다고 이해할 수 있다. 즉 100 곱하기 50 나누기 2를 하면 정답은 2500 이 된다. 1 3 5…와 같은 숫자들을 관찰해보면 연속되는 각 숫자(항 term)들의 차이가 2 라는 것을 알 수 있다. 여기서 2를 공차(common difference)라고 한다. 그리고 이러한 공차가 있는 수열을 등차수열(Arithmetic Sequence)이라고 한다.

2+5+8+…+116+119의 값은 무엇일까? 위에서 언급한 내용들을 바탕으로 생각해보면 (2+119)+(5+116)+…+(116+5)+(119+2)를 찾을 수가 있는데 연속적으로 반복되는 121이 몇 개가 나오는가를 찾는 것이 이 문제의 핵심이다. 2(첫째 항 1st term)와 5(둘째 항 2nd term)의 차이는 3이고 이 3이 바로 공차가 되는 것을 쉽게 발견할 수 있다. 2(1st term)는 3에서 1을 뺀 것이고 5(2nd term)는 3 곱하기 2에서 1을 뺀 것이고 8(3rd term)은 9에서 1을 뺀 것으로 생각할 수 있다. 또는 2=2+3(0) 5=2+3(1) 8=2+3(2)… 와 같은 방식으로 이해해도 같다.

그럼 nth term (n번째 항)의 일반식을 어떻게 찾을 수 있을까? 2+3(n-1)으로 표현할 수 있는데 정리하면 3n-1 이 된다. 그럼 다시 문제의 처음으로 돌아가서 생각해보면 119는 몇 번째 항일까? 40번째 항이 된다. 모두 40개의 항(term)이 있다고 이해하면 된다. 그러면 정답은 121 곱하기 40 나누기 2 즉 2420이 된다. 일반적인 등차수열의 일반항(nth term.an)은 첫째 항(a1) 더하기 공차(d) 곱하기(n-1)로 표현이 된다. 수식으로 정리해보면 an=a1+(n-1)d 라고 쓸 수 있는데 이것을 'Explicit form'이라고도 한다.

an = 3n -1인 등차 수열은 an+1 = an +3 (a1=2 n>=≥으로 표현할 수도 있는데 이처럼 연속되는 두 항으로 수열을 표현하는 식을 recursive form이라고 한다.

여기서 좀더 나아가면 sigma(∑)라는 기호를 사용해서 급수를 표현하게 된다. 그리고 그의 이해는 AP Calculus에서 다루게 될 integration(적분)의 아주 중요한 기초가 된다.