[미국 수학의 정석] 사라진 1달러의 행방을 찾아라

수학의 매력은 답이 정확하다는 것입니다. 하지만 문제에서 제시된 개념을 제대로 이해하지 않으면 엉뚱한 답을 할 수 있습니다. 자녀가 수학의 개념을 얼마나 잘 이해하고 있는 지 집에서 한번 테스트해볼까요? 부모님도 상식으로 알아두면 재미있는 문제입니다.

Three people check into a hotel and pay $30 total for a room ($10 each). Later, the hotel manager realizes that the bill should be only $25, so he gives $5 to the bellboy to return to the customers. The bellboy knows that $5 cannot be split evenly among three people, so he takes $2 for himself and each customer gets $1 back. Consequently, each customer paid $9. The product of 3 and $9 is $27, and the sum of $27 and $2 is $29. Where is the missing dollar?

(세 사람이 어느 호텔에 가서 방 하나를 얻으면서 각각 10달러씩 모아서 30달러를 지불했다. 호텔 지배인이 원래 방값이 25달러였는데 5달러를 더 받은 것을 알고 호텔 벨보이에게 5달러를 주며 손님들에게 환불해드리라고 했다. 벨보이는 5달러를 세 사람이 똑같이 나누기 어려우니 자기가 2달러를 갖고, 나머지 3달러를 각각 1달러씩 되돌려 줬다. 이에 따라 세 사람은 방값으로 각각 9달러씩 냈지만 합계 결과 총 27달러가 나왔다. 여기에 벨보이가 가져간 2달러를 더하면 29달러가 된다. 그럼 없어진 1달러는 어디 갔을까?)

이 수수께끼는 비형식적 오류(informal fallacy)를 가지고 있는 아주 유명한 수수께끼입니다. 1930년대에 기원 된 것으로 전해지는데, 이와 비슷한 퍼즐들은 훨씬 더 오래된 것으로 알려지고 있습니다. 문제 자체가 재미있기도 하고, 이 수수께끼가 가지고 있는 비형식적 오류를 파악하는 것이 수학적 논리력을 키우는데 도움이 되기도 합니다. 대수(Algebra)를 공부하다 보면 이와 비슷한 부분들이 나오기도 합니다. 연속되는 숫자들의 규칙이나, 동전이나 우표의 나이, 액수 등등의 개념들을 묶어서 퍼즐 문제로 소개하기도 합니다. 학교에서는 대부분 테이블을 그려서 연구하는 방법으로 많이들 설명합니다.

이 문제의 함정은 이렇습니다. 처음 세 사람이 30달러를 지급했는데, 3달러를 되돌려받았다면, 세 사람은 총 27달러를 지급한 것인데 벨보이가 2달러를 갖고 갔다면 당연히 1달러가 없어진 것으로 생각하는 것이 일반적입니다. 하지만 이것은 틀린 생각입니다.

세 사람이 원래 25달러를 지급해야 하는데, 30달러를 냈다면 5달러를 돌려받는 것이 맞습니다. 여기서 2달러를 벨보이에게 주고 3달러를 돌려받았다면 없어진 돈은 없는 것입니다. 즉, 세 사람이 지출한 비용은 모두 27달러입니다. 여기서 27달러는 무슨 의미일까요? 방값 25달러와 벨보이 팁 2달러를 더한 값입니다. 여기에 거스름돈 3달러를 더하면 총 30달러가 됩니다.

그럼, 맨 처음 계산에서 잘못 계산한 것은 무엇일까요? 세 사람이 각각 10달러를 냈다가 3달러를 되돌려받으면, 총 27달러를 지출한 것이 맞습니다. 그런데 여기에 이야기하는 27달러에는 벨보이에게 준 2달러가 이미 포함된 것입니다. 그래서 27달러에 2달러를 다시 더한 것이 잘못된 계산입니다.

다시 생각해보겠습니다. 맨 처음부터 "방값은 25달러이며 벨보이 봉사료는 별도로 2달러"라고 했다면 세 사람이 각각 얼마씩 냈을까요? 처음부터 각자 9달러씩 냈을 것입니다. 그래서 30달러는 거스름돈 3달러, 벨보이 팁 2달러, 방값 25달러의 총 합이라고 생각하면 맞습니다.

존 김 원장 / 쿨김아카데미